經驗模態分解與希爾伯特頻譜

一個針對非線性、非平穩訊號的分析方法

傳統分析方法的困境

在訊號處理中，我們經常遇到隨時間變化的訊號，例如地震波、金融數據或腦電圖。傳統的傅立葉分析 (Fourier Analysis) 假設訊號是平穩且線性的，這在現實世界中很少成立。當應用於非平穩數據時，會產生兩個主要問題：

能量擴散

為了表示訊號的局部變化，傅立葉分析會使用大量諧波，導致能量在頻譜上散開，無法精確反映特定時間點的真實能量分佈。

虛假諧波

非線性或非平穩的波形會被誤解為多個諧波的疊加，這些「虛假」的諧波並沒有實際的物理意義，只是數學上的近似。

新的解決方案：EMD + 希爾伯特頻譜

為了解決上述問題，黃鍔博士等人提出了一種創新的兩步驟方法：

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經驗模態分解 (Empirical Mode Decomposition, EMD)

將複雜訊號分解成一系列簡單的「固有模態函數」(Intrinsic Mode Function, IMF)。

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希爾伯特頻譜分析

對每個 IMF 進行分析，得到瞬時頻率與能量，繪製成希爾伯特頻譜。

什麼是「固有模態函數」(Intrinsic Mode Function, IMF)？

固有模態函數 (IMF) 是一個特殊的函數，它代表了訊號中單一的、內在的振盪模式。一個函數要成為 IMF，必須滿足兩個條件：

  • 在整個數據中，局部極值的數量和零交越點的數量必須相等或最多相差一。
  • 在任何時間點，由局部極大值構成的上包絡線和局部極小值構成的下包絡線，其平均值必須為零。

簡單來說，IMF 的波形必須是局部對稱的，不能有多個振盪模式疊加在一起（騎乘波, riding waves）。只有滿足這些條件，我們才能有意義地定義其「瞬時頻率」。

下面是兩個範例圖，說明了什麼樣的波形可以作為 IMF，什麼樣的不行：

✅ 合格的 IMF 波形

波形局部對稱，代表單一振盪模式。
（示意圖，實務上須經停止準則驗證）

❌ 不合格的波形 (多模式疊加)

高頻波疊加在低頻波上，不代表單一模式。

圖解說明：篩選過程 (Sifting Process)

經驗模態分解 (EMD) 的核心是「篩選過程」，它像篩子一樣，逐步從訊號中分離出不同尺度的 IMF。請點擊下方的按鈕，一步步了解這個過程。

這是我們的合成訊號：一個高頻波「騎」在一個低頻波上。

最終成果：希爾伯特頻譜

當我們將所有 IMF 分解出來後，就可以對每一個 IMF 進行希爾伯特轉換，計算出它在每一個時間點的瞬時頻率和能量。將所有 IMF 的結果結合起來，就形成了希爾伯特頻譜。

希爾伯特頻譜是一個時間-頻率-能量的三維分佈圖。它能精確地告訴我們：

  • 在什麼時間...
  • 出現了什麼頻率的振盪...
  • 以及這個振盪帶有多少能量。

這種表示方法提供了前所未有的高解析度，能清晰地揭示訊號隨時間變化的動態特徵，同時避免了傳統方法的能量擴散和虛假諧波問題。

主要訊號分析方法比較

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快速傅立葉轉換 (FFT)

理論依據： 正弦/複數指數基底

適用信號： 平穩或週期性信號

優點：
  • 頻率解析度高
  • 演算法高效，運算快速
缺點：
  • 對非平穩信號缺乏時間定位
  • 有限長度與非整週期造成頻譜洩漏
限制與緩解：
  • 需長數據以獲得高頻率解析度
  • 可透過適當窗函數緩解頻譜洩漏

常見應用： 頻譜分析、濾波、通訊、聲音/影像處理

🌊

小波轉換

理論依據： 可縮放、平移的小波函數

適用信號： 非平穩、含局部特徵的信號

優點：
  • 同時提供時間與頻率(尺度)資訊
  • 多解析度分析，對瞬變特徵敏感
缺點：
  • 需手動選擇母小波與分解層數
  • 結果受母小波選擇影響
限制與緩解：
  • 根據信號特性選擇合適母小波
  • 使用冗餘小波轉換緩解邊界效應

常見應用： 地震分析、醫學信號(ECG/EEG)、影像壓縮 (JPEG2000)

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經驗模態分解 (EMD)

理論依據： 資料驅動的 Sifting 分解

適用信號： 非線性且非平穩信號

優點：
  • 無需預設基底，完全自適應
  • 可得到瞬時頻率與局部分量
缺點：
  • 易受噪聲與端點效應影響
  • 模態混疊問題
  • 數學基礎較薄弱
限制與緩解：
  • 採用 EEMD/CEEMDAN 緩解模態混疊
  • 對資料先行去噪以提升穩定性

常見應用： 氣候資料、金融時序、機械振動、生物醫學信號 (搭配HHT)

EMD 的實際應用

為何 EMD 被廣泛應用？

經驗模態分解 (EMD) 之所以廣泛用於處理非線性、非平穩訊號，是因為它是資料驅動且對這類訊號特別友善。它能將複雜訊號自適應地分解為一系列物理意義更清晰的內在模態函數 (IMFs)，利於在多時間尺度上進行分析與特徵萃取。

與傳統的傅立葉或小波分析不同，EMD 不需預設基底函數，能更直接地對應真實物理過程。然而，實務上需注意其端點效應與模態混疊等限制，常透過噪聲輔助的 EEMD/CEEMDAN 等方法來改善穩定性。

⚙️

機械與工業監測

  • 旋轉機械與軸承故障診斷：分離多頻成份，輔助早期異常檢測。
  • 材料檢測與生產線監視：分離非平穩振動訊號的趨勢與雜訊。
❤️

醫療與生物訊號

  • ECG/EEG/EMG 分析：去趨勢、去雜訊，提高病理事件辨識率。
  • 生物節律解讀：改善非平穩生理資料的時頻表徵與解釋性。
⚡️

能源與電力系統

  • 電力負載與再生能源預測：分解後對子序列建模，提升準確度。
  • 電能品質分析：處理瞬變、閃變等非平穩擾動。
💰

金融與經濟

  • 多尺度趨勢/週期分離：有助於短中長期策略分層建模。
  • 結構性變化偵測：透過 IMFs 減輕非線性疊加的干擾。
🌍

地球科學與氣候

  • 地震活動與震波分析：分離趨勢與不同頻段能量。
  • 氣候指標多尺度分解：理解變率來源與局部週期性。
🖼️

語音、聲學與影像

  • 語音去噪與特徵擷取：將語音訊號的多尺度振盪分離。
  • 影像處理：支援影像紋理、邊緣強化與瑕疵檢測。
🌉

結構健康監測

  • 橋梁/建物振動資料分析：處理載重與環境引起的非平穩效應。
  • 長期監測資料去趨勢：利於基線建立與異常偵測。
🌊

水文與海洋科學

  • 風浪、潮汐與海洋動力分析：萃取高頻與低頻成份。
  • 水文時間序列預測：改善模型對非平穩變化的適應性。

結論

經驗模態分解與希爾伯特頻譜分析為處理現實世界中常見的非線性、非平穩數據提供了一個強大且物理意義清晰的工具。它的核心創新在於：

自適應基底

分解出的 IMF 完全由數據本身決定，不需預設任何基底函數。

物理意義

瞬時頻率能揭示波形內部的頻率變化，這直接反映了系統的非線性特性。

高解析度

在若干非平穩訊號上可呈現更清晰的時間-頻率-能量分佈，但成效仰賴分解品質與資料條件。