完整題目說明
歡迎來到這個互動式學習頁面！這裡我們要挑戰你的直覺，透過三個經典的概率悖論來思考數學背後的邏輯：
三門悖論
你參加一個節目，面前有三扇門：一扇門後是 100 萬美元大獎，另外兩扇門後各有一隻山羊。你先選一扇門，主持人（知道哪裡有獎）打開另一扇沒有獎的門，問你要不要換門。直覺覺得現在是二選一，50% 機率，但實際上換門的中獎機率高達 2/3。
檢查悖論
某公司發明一款檢測紙，準確率 98%。如果檢測顯示陽性，你可能覺得自己一定中招。但事實上，還需要考慮疾病基準發病率，假設疾病基準發病率僅 0.3%，即使檢測陽性，你實際得病的機率只有約 13%。
辛普森悖論
分析醫院數據，每個科室大醫院治療成功率都高於小醫院，但整體來看，小醫院的成功率卻更高。原因是大醫院收治大量重症病人，這種分組比例差異導致統計結果逆轉。
接下來的互動模擬將讓你親手改變參數，直觀理解這些悖論，最後我們會歸納出它們共同的本質邏輯。
一、三門悖論（Monty Hall）
主持人總會打開一扇有羊的門，並避免打開大獎。在這個規則下： 不換門勝率 = 1/n 換門勝率 = 1 − 1/n 。當 n = 3 時，換門勝率為 2/3。
控制面板
為何換門更好？（直觀推理）
你第一次選中大獎的機率只有 1/n。
只要第一次選錯（機率 (n−1)/n），主持人會排除所有錯誤門，只剩一扇（必為大獎），此時換門必中。
模擬勝率
基於實際模擬理論勝率
數學計算值模擬結果
| 項目 | 勝出次數 | 失敗次數 | 勝率 |
|---|---|---|---|
| 策略：永遠換 | — | — | — |
💡 提示：將門數拉到 100，直覺會更明顯；換門理論勝率 ≈ 99%。
二、檢查悖論（基準率謬誤）
當疾病很罕見時，即使測試「準確率」看似很高，陽性後真正得病（PPV）也可能很低。關鍵在於基準率（盛行率）。
參數調整
公式說明（點我展開）
PPV = P(病|陽) = (敏感度 × 盛行率) / [(敏感度 × 盛行率) + ((1−特異度) × (1−盛行率))] NPV = P(不病|陰) = (特異度 × (1−盛行率)) / [((1−敏感度) × 盛行率) + (特異度 × (1−盛行率))]
陽性後真正得病（PPV）
關鍵指標陰性後真沒病（NPV）
參考指標混淆矩陣（人數）
| 實際／檢測 | 陽性 | 陰性 | 合計 |
|---|---|---|---|
| 有病 | — | — | — |
| 無病 | — | — | — |
| 合計 | — | — | 100,000 |
📊 案例預設：盛行率 0.3%、敏感度 98%、特異度 98%，則 PPV 約 13%（多數陽性來自假陽）。
三、辛普森悖論（Simpson's Paradox）
在每個科室內，大醫院成功率都較高；但因為大醫院接收較多重症，整體成功率反而較低，出現匯總逆轉。
場景控制
如何逆轉？
匯總時忽略了分組比例：大醫院重症占比高（基數巨大），即使每組成功率都比較好，整體仍可能被重症拉低。
整體成功率（大醫院）
重症占比影響整體整體成功率（小醫院）
輕症多 → 整體較高分科成功率與人數
| 醫院 × 科別 | 人數 | 成功率 | 成功人數 |
|---|---|---|---|
| 整體（大醫院） | — | — | — |
| 整體（小醫院） | — | — | — |
📊 預設數據：大醫院輕症 200 人（92%）、重症 800 人（45%）；小醫院輕症 800 人（85%）、重症 200 人（30%）。匯總：大 ≈ 54%；小 ≈ 74%。
共同核心：隱蔽的「篩選／條件化」
三門悖論
最終二選一不是對等樣本：
只要第一次選錯，主持人保留的那扇門更可能是獎。
檢查悖論
檢測場景中，多數人本身健康；
罕見病＋有限特異度 ⇒ 假陽性大量湧入。
辛普森悖論
匯總時忽略「組間比例」差異；
重症集中到大醫院，整體被拉低。
🔍 延伸：倖存者偏差、抽樣偏差、條件化（collider）
- •倖存者偏差： 只觀察「留下來的」樣本（如返航飛機），忽略沒進場的。
- •抽樣偏差： 樣本進入場景的機會不均（如只電訪有電話者）。
- •條件化在 collider 上： 對一個共同結果條件化會誘發虛假關聯。
3 題快速測驗（即時回饋）
測試您對這些悖論的理解程度
（三門）主持人一定不會打開有獎的門。若有 10 扇門，永遠換門的勝率最接近下列何者？
（檢查）疾病盛行率極低且特異度非 100%。陽性後真正有病的機率（PPV）通常會？
（辛普森）匯總後方向反轉，最可能的技術原因是？
📚 引用與備註
- • 本頁之數值與案例為教學示例；請依實務情境使用實際參數與資料。
- • 三門悖論模擬假設主持人總是揭示山羊門且總能完成操作。